классы:
-
8 класс
(6 задач)
9 класс
(6 задач)
10 класс
(6 задач)
11 класс. Первый день
(6 задач)
11 класс. Второй день
(5 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]
Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня)
$$
\sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} .
$$
Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?
На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального $k$ от 1 до 99 сумма чисел на верхних $k$ карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?
В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно
равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ – точка пересечения
высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости
$BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и
построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других
граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$
пересекаются в одной точке.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]
Задача 67318 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67305 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67309 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67314 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67319 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]
