Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]

Задача 67302

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Авторы: Устинов А.В., Юран А.Ю.

Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.

Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67307

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?

Прислать комментарий Решение

Задача 67317

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Смирнова Л.

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

Прислать комментарий Решение

Задача 67312

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
Темы:	[	Оценка + пример	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Метелев Д.

В клуб любителей гиперграфов в начале года записались $n$ попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл $100$ заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение $n$, при котором такое могло случиться.

Прислать комментарий Решение

Задача 67313

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]