Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

Внутри четырёхугольника $ABCD$ отметили точку $P$ такую, что $\angle APB + \angle CPD = 180^\circ$. Точки $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ изогонально сопряжены $P$ в треугольниках $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников $ABCD$ и $P_aP_bP_cP_d$ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$, а $M$ и $N$ – середины $BC$ и $AH$ соответственно. Перпендикуляр из $N$ к прямой $MH$ пересекает $BC$ в точке $A'$. Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Точки $I$, $I_a$ являются центром вписанной и $A$-вневписанной окружности треугольника $ABC$; вписанная окружность касается сторон $AC$, $AB$ в точках $E$, $F$; $G$ – точка пересечения $BE$ и $CF$. Перпендикуляр к $BC$, проходящий через точку $G$, пересекает $AI$ в точке $J$. Докажите, что $E$, $F$, $J$, $I_a$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность и лежащий внутри нее эллипс с фокусами $F_1$, $F_2$. Постройте хорду окружности $AB$, касающуюся эллипса и такую, что четырехугольник $AF_1F_2B$ – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]