Каталог по темам

Задачи

Страница: << 249 250 251 252 253 254 255 >> [Всего задач: 1331]

Задача 110926

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На листке бумаги написаны натуральные числа от 1 до N. Игроки по очереди обводят в кружок одно число, соблюдая условие: любые два уже обведённых числа должны быть взаимно простыми. Два раза число обводить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода.
а) Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при N = 10?
б) А при N = 12?
в) А при N = 15?
г) А при N = 30?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115417

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Необычные конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116699

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 11

Автор: Сергеев П.В.

На собрание пришло n человек (n > 1). Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.
а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
б) Покажите, что n может быть больше 4.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65835

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа n + 1 и n – 1. Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 66840

Темы:	[	Функция Эйлера	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Формула включения-исключения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных) $a(b - c)$ делится на $n$ , то $b = c$ .
Докажите, что красных чисел не больше чем φ( $n$ ).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 249 250 251 252 253 254 255 >> [Всего задач: 1331]