Докажите, что рациональные числа из отрезка [0;1] можно покрыть системой интервалов суммарной длины не больше 1/1000.

   Решение

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой на две части. Затем одну часть снова разрезал по прямой на две. Потом одну из получившихся частей опять разрезал на две части, и так далее, всего он резал бумагу сто раз. Потом Петя подсчитал суммарное количество вершин у всех получившихся многоугольников – получилось всего 302 вершины. Могло ли так быть?

   Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1032]      

а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9 ходов все фишки окажутся на одной прямой? б) А после 10 ходов?

Прислать комментарий

Решение

Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках С₁, С₂, сторону BС – в точках A₁, A₂, сторону СA – в точках B₁, B₂. Известно, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₁, B₁, A₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₂, B₂, A₂, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D и E). Постройте треугольник ABC, у которого биссектрисы CD и AE лежат на данных прямых, а основания этих биссектрис— данные точки D и E.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что  ∠MKN = 90°.  (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A).

Прислать комментарий

Решение

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Через вершину A проведена прямая, перпендикулярная AD, а из вершины B опущен перпендикуляр BB₁ на эту прямую. Докажите, что периметр треугольника BB₁C больше периметра треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1032]