Каталог по темам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 151]

Задача 105088

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Итерации	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Доценко В.В.

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n}) разрешается получать последовательности {b_n + c_n},
{b_n – c_n}, {b_nc_n} и {^b_n/_{c_n}} (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) a_n = n²;

б)

в)

Прислать комментарий

Решение

Задача 60875

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Определим последовательности чисел (x_n) и (d_n) условиями x₁ = 1, x_n+1 = [ ], d_n = x_2n+1 – 2x_2n–1 (n ≥ 1).
Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде (d₁,d₂d₃...)₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77898

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите, что числа вида 2ⁿ при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Прислать комментарий Решение

Задача 105192

Темы:	[	Двоичная система счисления	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.

а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна?

б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2.

в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей s.

Прислать комментарий Решение

Задача 60557

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Числа Каталана	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 151]