Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Вдоль прямолинейного участка границы установлено 15 столбов. Около каждого столба поймали несколько близоруких шпионов. Для каждого столба одного из пойманных около него шпионов допросили. Каждый из допрошенных честно сказал, сколько других шпионов он видел. При этом видел он только тех, кто находился около его столба и около ближайших соседних столбов. Можно ли по этим данным восстановить численность шпионов, пойманных около каждого столба?

Вниз   Решение


Окружность, центр которой лежит внутри квадрата PQRS, проходит через точки Q и R.
Найдите угол между касательными к окружности, проведёнными из точки S, если отношение стороны квадрата к радиусу окружности равно  24 : 13.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любого натурального числа a1 > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  a1, a2, a3, ...,
что      делится на  a1 + a2 + ... + ak  при всех  k ≥ 1.

ВверхВниз   Решение


Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

ВверхВниз   Решение


Построить треугольник ABC по точкам M и N — основаниям высот AM и BN — и прямой, на которой лежит сторона AB.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 233]      



Задача 98194

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Звонкин Д.

Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Рассмотрите два варианта задачи:
  а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна;
  б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110036

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом     если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном  a0 > 5  в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32082

Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60280

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Числовая последовательность  A1, A2, ..., An, ...  определена равенствами   A1 = 1,   A2 = – 1,   An = – An–1 – 2An–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60601

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

  Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1,  P0 = a0,  Pk = akPk–1 + Pk–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q–1 = 0,  Q0 = 1,  Qk = akQk–1 + Qk–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу  [a0; a1, a2, ..., an].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
    б)  PkQk–1Pk–1Qk = (–1)k+1;
    в)   (Pk, Qk) = 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 233]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .