Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Подобные треугольники >> Две пары подобных треугольников
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2, ..., xn ( n $ \geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, ..., $ \alpha_{n}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ +...+ $ \alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$xn) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$f (xn).


Вниз   Решение

В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна единица. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любого ребра куба. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными? А можно ли добиться того, чтобы все числа делились на 3?

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

ВверхВниз   Решение

Найдите     если   .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 122]      

  с решениями  

Задача 52468

 [Теорема Птолемея]
Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53251

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки K, L, M делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении  AK : KB = CL : LB = CM : MD = 1 : 2.  Радиус описанной окружности треугольника KLM равен 5/2,  KL = 4,  LM = 3.  Какова площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что  KM < KL?

Прислать комментарий     Решение

Задача 53252

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки A, B, C делят стороны выпуклого четырёхугольника KLMN в отношении  AK : AL = BM : BL = CM : CN = 1 : 2.  Площадь четырёхугольника KLMN
равна 9,  AB = BC = 2.  Каков радиус описанной окружности треугольника ABC, если известно, что  AC > AB?

Прислать комментарий     Решение

Задача 53807

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Трапеция AEFG  (EF || AG)  расположена в квадрате ABCD со стороной 14 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD соответственно. Диагонали AF и EG перпендикулярны,  EG = 10.  Найдите периметр трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53808

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Трапеция AEFG  (EF || AG)  расположена в квадрате ABCD со стороной 3 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD соответственно. Диагонали AF и EG трапеции перпендикулярны,  BF = 1.  Найдите периметр трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 122]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .