Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.

 

   Решение

---

Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами
  U_n(^x/₂) = i^–nF_n+1(ix);   2T_n(^x/₂) = i^–nL_n(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 1365]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35795

Темы:   [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора.
Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58221

Темы:   [ Равносоставленные фигуры ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65214

Тема:   [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Можно ли разрезать квадрат 5×5 на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65958

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Верно ли, что любой треугольник можно разбить на четыре равнобедренных треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78028

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 1365]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями