Два колеса радиусов r₁ и r₂ катаются по прямой l. Найдите множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.

   Решение

Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые постоянна.

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A₁C₁. Прямые AD и A₁C₁ пересекаются в точке K. Докажите, что  2A₁K = |b – c|.

   Решение

Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых  AX + BX = CX + DX.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что  AB = BC,  AC = 10.  Из середины D стороны AB проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 40. Найдите периметр треугольника AEC.

   Решение

Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)

   Решение

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 138]      

Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения.
Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых  P(x) = a²(x) + b²(x).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m существует единственный многочлен Q(x) степени  m + 1 , для которого  ΔQ(x) = P(x)  и  Q(0) = 0.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что     (сумма берётся по всем целым i, 0 ≤ i ≤ ⁿ/₂).

б) Докажите, что если p и q – различные числа и  p + q = 1,  то

Прислать комментарий

Решение

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d₁, d₂, d₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 138]