Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 >> [Всего задач: 21756]

Задача 58512

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что асимптоты гиперболы

ax² + 2bxy + cy² + dx + ey + f = 0

ортогональны тогда и только тогда, когда a + c = 0.

Решение

Пусть ax² + bxy + cy² = (px + qy)(rx + sy). Тогда прямые px + qy = 0 и rx + sy = 0 параллельны асимптотам рассматриваемой гиперболы. Эти прямые ортогональны тогда и только тогда, когда pr + qs = 0, т. е. a + c = 0.

Прислать комментарий

Задача 58513

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ — постоянная величина, есть гипербола.

Решение

Для гиперболы доказательство такое же, как для эллипса (см. задачу 31.006).

Прислать комментарий

Задача 58514

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что середины параллельных хорд гиперболы лежат на одной прямой.

Решение

Для гиперболы доказательство такое же, как для эллипса (см. задачу 31.007).

Прислать комментарий

Задача 58515

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что площадь треугольника, образованного асимптотами и касательной к гиперболе, одна и та же для всех касательных.

Решение

Касательная ${\dfrac{x_0x}{a^2}}$ - ${\dfrac{y_0y}{b^2}}$ = 1 пересекает асимптоты y = ± ${\dfrac{b}{a}}$ x в точках с координатами x_{1, 2} = a $\left(\vphantom{\dfrac{x_0}{a}\pm\dfrac{y_0}{b}}\right.$ ${\dfrac{x_0}{a}}$ ± ${\dfrac{y_0}{b}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{x_0}{a}\pm\dfrac{y_0}{b}}\right)^{-1}_{}$ . Поэтому x₁x₂ = a². Ясно также, что площадь рассматриваемого треугольника пропорциональна x₁x₂.

Прислать комментарий

Задача 58516

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Докажите, что отношение расстояний от точки гиперболы до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e > 1, — гипербола.

Решение

Для гиперболы решение такое же, как для эллипса (см. задачу 31.017).

Прислать комментарий

Страница: << 1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 >> [Всего задач: 21756]