Каталог по темам

Задачи

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 488]

Задача 109800

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что каждые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на k + 2 группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110772

Темы:	[	Неравенство Коши	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Определите наименьшее действительное число M, при котором неравенство |ab(a² – b²) + bc(b² – c²) + ca(c² – a²)| ≤ M(a² + b² + c²)² выполняется для любых действительных чисел a, b, c.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35236

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.

Прислать комментарий Решение

Задача 57349

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57987

Темы:	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Подобные фигуры	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $\Phi$ содержит два непересекающихся многоугольника $\Phi_{1}^{}$ и $\Phi_{2}^{}$ , подобных $\Phi$ с коэффициентом 1/2.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 488]