Страница:
<< 54 55 56 57
58 59 60 >> [Всего задач: 333]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Для любых натуральных чисел a1, a2, ..., am, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b1, b2, ..., bm сумма 
не равна нулю. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на N + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги.
На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один
из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе
слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы
можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что
получится то же слово, записанное в обратном порядке.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11
|
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше
n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во
второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа
k £ n сумма
k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме
k-х степеней всех чисел второго множества.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Пусть fk,l(x) – производящая функция последовательности Pk,l(n) из задачи 61525: fk,l(x) = Pk,l(0) + xPk,l(1) + ... + xklPk,l(kl).
а) Докажите равенства: fk,l(x) = fk–1,l(x) + xkfk,l–1(x) = fk,l–1(x) + xlfk–1,l(x).
б) Докажите, что функции fk,l(x) совпадают с многочленами Гаусса gk,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).
Страница:
<< 54 55 56 57
58 59 60 >> [Всего задач: 333]
Фильтр
