Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Прислать комментарий

Решение

а) Выпуклые многоугольники  A₁...A_n и  B₁...B_n таковы, что все их соответственные стороны, кроме A₁A_n и B₁B_n, равны и  A₂ B₂,...,A_{n - 1} B_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что  A₁A_n > B₁B_n.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников  A₁...A_n и  B₁...B_n равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника  A₁...A_n знак разности  A_i - B_i. Докажите, что при n 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

Прислать комментарий

Решение

Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?

Прислать комментарий

Решение

Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей АD, ВЕ и CF быть не меньше 2?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]