ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 1221]      



Задача 35056

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35125

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35129

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, второй – 21. Сколько партий сыграл третий игрок?

Прислать комментарий     Решение

Задача 35261

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35438

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В компании у каждых двух людей ровно пять общих знакомых. Докажите, что количество пар знакомых делится на 3.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 1221]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .