Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30596

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Докажите, что  1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n – 1)ⁿ  делится на n при нечётном n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30600

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Назовём натуральное число n удобным, если  n² + 1  делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30657

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение  x² + y² = x + y + 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30797

Темы:   [ Планарные графы. Формула Эйлера ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что для плоского графа справедливо неравенство  2E ≥ 3F.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30955

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.
  a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?   б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями