Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 289]

Задача 61038

Темы:	[	Теорема Виета	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Кубические многочлены	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения x³ + px² + qx + r = 0 положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64659

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Формула Герона	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
а) равными наибольшими сторонами?
б) равными наименьшими сторонами?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79403

Темы:	[	Ломаные внутри квадрата	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 57373

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107834

Темы:	[	Четырехугольники (экстремальные свойства)	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 289]