Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]      

В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.

Прислать комментарий

Решение

На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.

Прислать комментарий

Решение

На биссектрисе острого угла AOC взята точка B. Через точку B проведена прямая, перпендикулярная к OB и пересекающая сторону AO в точке K, а сторону OC – в точке L. Через точку B проведена еще одна прямая, пересекающая сторону AO в точке M (M – между O и K), сторону OC — в точке N, причём так, что  ∠MON = ∠MNO.  Известно, что  MK = a,  LN = ^3a/₂.  Найдите площадь треугольника MON.

Прислать комментарий

Решение

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Точки M и N — середины сторон BC и AC соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол BIM — также прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]