Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 489]      



Задача 107812

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Теория игр (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Бегун Б.И.

В углу шахматной доски размером m×n полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109816

Темы:   [ Уравнения с модулями ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Последовательности функций (прочее) ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a1|+..+|x-a50|=|x-b1|+..+|x-b50|,

где a1 , a2 , a50 , b1 , b2 , b50 – различные числа?
Прислать комментарий     Решение

Задача 115863

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Векторы (прочее) ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Разрезания на параллелограммы ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дано множество точек O, A1, A2, ..., An на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки Ai выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116219

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Ориентированные графы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На доске выписано  (n – 1)n  выражений:   x1x2x1x3,  ...,  x1xnx2x1x2x3,  ...,  x2xn,  ...,  xnxn–1,   где  n ≥  3.  Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо  (x1x2) + (x2x3)  Лёша запишет  x1x3,  а вместо  (x1x2) + (x2x1)  он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73662

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Для каждого натурального n обозначим через  s(n)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде  m = n + s(n).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + s(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 489]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .