Страница:
<< 152 153 154 155
156 157 158 >> [Всего задач: 1110]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
В клетках таблицы m×n расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах m и n, больших 100, такое возможно?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода
обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
В соревнованиях по n-борью участвуют 2n человек. Для
каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования
проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде
программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина
принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг,
и т.д., пока в n-м виде программы не будет определен победитель. Назовем
спортсмена возможным победителем, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
б) Докажите, что число возможных победителей не превосходит 2n – n.
в) Докажите, что может так случиться, что возможных
победителей ровно 2n – n.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.
Страница:
<< 152 153 154 155
156 157 158 >> [Всего задач: 1110]
Фильтр
