Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.

   Решение

По поверхности планеты, имеющей форму бублика, проползли, оставляя за собой следы, две улитки: одна по внешнему экватору, а другая по винтовой линии (см. рис.). На сколько частей разделили поверхность планеты следы улиток? (Достаточно написать ответ.)

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 117]      

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешне в точке C. К ним проведена общая внешняя касательная AB, где A и B — точки касания. Найдите стороны треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки A, B, C и D касания их общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность и найдите её радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Найдите радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку A с точками касания с одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8.

Прислать комментарий

Решение

Точка $P$ лежит внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$. Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PAB$ и $PCD$ пересекаются в точке $Q$, а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PBC$ и $PAD$ – в точке $R$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 117]