Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?
(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

   Решение

---

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c₃ = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.

   Решение

---

Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причём каждый рыцарь движется либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 289]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108943

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1 . На высоте AA1 выбрана точка D , для которой A1D=C1D . Точка E – середина стороны AC . Докажите, что точки A , C1 , D и E лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108944

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 . Точки K и M – середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Отрезки AA1 и KM пересекаются в точке L . Докажите, что точки A , K , L и B1 лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115499

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка M . Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой CM , который пересекает сторону  AD в точке  E . Точка P  — основание перпендикуляра, опущенного из точки  M на прямую  CE . Найдите угол  APB .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52417

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC₁ и PB₁ на прямые AB и AC. Докажите, что  ∠C₁AP = ∠C₁B₁P.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52848

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Из произвольной точки M внутри острого угла с вершиной A опущены перпендикуляры MP и MQ на его стороны. Из вершины A проведён перпендикуляр AK на PQ. Докажите, что PAK = MAQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 289]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями