Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ c;  x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

   Решение

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

   Решение

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α₁ + b² ctg β₁ + c² ctg γ₁ ≥ 4S,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Прислать комментарий

Решение

В квадрате ABCD на сторонах AB и CD взяты точки M и N . Отрезки CM и BN пересекаются в точке P , а отрезки AN и DM — в точке Q . Докажите, что PQ AB .

Прислать комментарий

Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.

Прислать комментарий

Решение

В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной L. Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой ломаной меньше чем на  . Докажите, что тогда  L - .

Прислать комментарий

Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположено n² точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]