На плоскости отмечено 1968 точек, являющихся вершинами правильного 1968-угольника. Двое играют в следующую игру: каждый по очереди соединяет две вершины многоугольника отрезком, соблюдая следующие правила: нельзя соединять две точки, хотя бы одна из которых уже соединена с чем-то, и нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода согласно этим правилам. Как нужно играть, чтобы выиграть? Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

О функции  f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом  a > 1  функция  f(x) + f(ax)  непрерывна на всей прямой.
Докажите, что  f(x) также непрерывна на всей прямой.

   Решение

Петя и Миша играют в такую игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в одну – 10 коп., а в другую – 15. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки – на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети – правой или левой – монета достоинством в 10 коп.?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 399]      

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Прислать комментарий

Решение

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

Даны 20 различных натуральных чисел, меньших 70. Докажите, что среди их попарных разностей найдутся четыре одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

По кругу написаны все целые числа от 1 по 2010 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают.
Докажите, что разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, чётна.

Прислать комментарий

Решение

За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 399]