В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

   Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 1005]      

В треугольнике ABC  AB – BC = .  Пусть M – середина стороны AC, а BN – биссектриса.  Докажите, что  ∠BMC + ∠BNC = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, точка C₁ симметрична C относительно O, D – середина стороны AB, K – центр описанной окружности треугольника ODC₁. Докажите, что точка O делит пополам отрезок прямой OK, лежащий внутри угла ACB.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы $AA_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B=60^{\circ}$, пересекаются в точке $I$. Описанные окружности треугольников $ABC$, $A_1IC_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ проходит через середину стороны $AC$.

Прислать комментарий

Решение

В окружность вписан выпуклый шестиугольник ABCDEF.
  а) Известно, что диагонали AD, BE, CF пересекаются в одной точке. Докажите, что  AB·CD·EF = BC·DE·FA.
  б) Известно, что  AB·CD·EF = BC·DE·FA.  Докажите, что диагонали AD, BE, CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C проведены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус описанной окружности треугольника BPQ равен ⁹/₅.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 1005]