ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Касательные прямые и касающиеся окружности >> Прямые, касающиеся окружностей
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На прямых AB, BC, CA даны точки C1 и C2, A1 и A2, B1 и B2. Точки C1 и C2 определяют числа $ \gamma_{1}^{}$ и $ \gamma_{2}^{}$, для которых (1 + $ \gamma_{1}^{}$)$ \overrightarrow{AC_1}$ = $ \overrightarrow{AB}$ и (1 + $ \gamma_{2}^{}$)$ \overrightarrow{C_2B}$ = $ \overrightarrow{AB}$; числа $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, $ \beta_{1}^{}$, $ \beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A2B1, B2C1 и C2A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.


Замечание. При $ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{2}^{}$ = 0 точки A2, B2, C2 совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{1}^{}$$ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{1}^{}$$ \gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. (Действительно, совпадение точек A1 и A2 эквивалентно тому, что $ {\frac{1}{\alpha_1}}$ + $ {\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A1B1, B1C1 и C1A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 776]      

  с решениями  

Задача 52602

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 70°.
Найдите угловые величины дуг, заключённых между точками касания.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52603

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Найдите угол между касательными, проведёнными из концов этой хорды.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52884

Темы:   [ Признаки и свойства касательной ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52885

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120.
Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53958

Темы:   [ Признаки и свойства касательной ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Докажите, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллельны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 776]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам