В некоторой стране 1985 аэродромов. С каждого из них вылетел самолёт и приземлился на самом удалённом от места старта аэродроме. Могло ли случиться, что в результате все 1985 самолётов оказались на 50 аэродромах? (Землю можно считать плоской, а маршруты прямыми; попарные расстояния между аэродромами предполагаются различными.)

   Решение

Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  P(x) = Q(x)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.

   Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 502]      

Изобразите множество середин всех отрезков, концы которых лежат а) на данной полуокружности; б) на диагоналях данного квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что если MN и PQ перпендикулярны, то  BC = AD.

Прислать комментарий

Решение

В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении  2 : 3.  Диагонали ромба равны m и n. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.

Прислать комментарий

Решение

Дан квадрат ABCD со стороной 1. Точка K принадлежит стороне CD и  CK : KD = 1 : 2.  Найдите расстояние от вершины C до прямой AK.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 502]