В ребусе, изображённом на рисунке, действия в каждой строке производятся подряд слева направо, хотя скобки не расставлены. Каждое число последней строки равняется сумме чисел столбца, под которым оно расположено. Результат каждой строки равен сумме чисел столбца с тем же номером. Ни одно число в ребусе не равно нулю и не начинается нулём, однако на нуль числа могут оканчиваться. Расшифруйте ребус.

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

На доске написаны  n > 3  различных натуральных чисел, меньших чем  (n – 1)!.  Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил  100 = 14·7 + 2  и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

   Решение

На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]      

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Прямоугольник ABCD с площадью 1 сложили по прямой так, что точка C совпала с A.
Докажите, что площадь получившегося пятиугольника меньше ¾.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 110 квадратов со стороной 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг диаметром 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Прислать комментарий

Решение

Площадь треугольника равна 1. Докажите, что средняя по длине его сторона не меньше .

Прислать комментарий

Решение

Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]