Три окружности проходят через точку X. A, B, C – точки их пересечения, отличные от X. A' – вторая точка пересечения прямой AX и описанной окружности треугольника BCX. Точки B' и C' определяются аналогично. Докажите, что треугольники ABC', AB'C и A'BC подобны.

   Решение

Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что  MK = KN.

   Решение

На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.

Прислать комментарий

Решение

Пусть E и F — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AE, ED, BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.

Прислать комментарий

Решение

Многоугольник описан около окружности радиуса r. Докажите, что его площадь равна pr, где p — полупериметр многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  A₁, B₁, C₁ и D₁ — середины сторон  CD, DA, AB, BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми  AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]