Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 175]
На прямых
BC,
CA и
AB взяты точки
A1,
B1 и
C1,
причем точки
A1,
B1 и
C1 лежат на одной прямой. Прямые,
симметричные прямым
AA1,
BB1 и
CC1 относительно соответствующих
биссектрис треугольника
ABC, пересекают прямые
BC,
CA и
AB в
точках
A2,
B2 и
C2. Докажите, что точки
A2,
B2 и
C2 лежат
на одной прямой.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Дан треугольник
ABC. На прямых
AB,
BC и
CA
взяты точки
C1,
A1 и
B1, причем
k из них лежат на сторонах
треугольника и 3 -
k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки
A1,
B1 и
C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда
R = 1 и
k четно (Менелай);
б) прямые
AA1,
BB1 и
CC1 пересекаются в одной точке или
параллельны тогда и только тогда, когда
R = 1 и
k нечетно
(Чева).
Вписанная (или вневписанная) окружность
треугольника
ABC касается прямых
BC,
CA и
AB в точках
A1,
B1
и
C1. Докажите, что прямые
AA1,
BB1 и
CC1 пересекаются
в одной точке.
Докажите, что высоты остроугольного треугольника
пересекаются в одной точке.
Прямые
AP,
BP и
CP пересекают стороны
треугольника
ABC (или их продолжения) в точках
A1,
B1 и
C1.
Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон
BC,
CA и
AB параллельно
прямым
AP,
BP и
CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон
BC,
CA и
AB с серединами
отрезков
AA1,
BB1 и
CC1, пересекаются в одной точке.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 175]