Что больше: 7⁹² или 8⁹¹?

   Решение

Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S. Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC, где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB, а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA. Докажите, что преобразование P проективно.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

На отрезке AB взята точка C и на отрезках AC, BC и AB как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой AB. Через точку C проведена прямая, перпендикулярная AB, и в образовавшиеся криволинейные треугольники ACD и BCD вписаны окружности S₁ и S₂ (рис.). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.

Прислать комментарий

Решение

Центры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах AD и BC прямоугольника ABCD. Эти окружности касаются друг друга и прямых AB и CD так, как показано на рис. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол при вершине B равен  20^o. На сторонах BC и AB взяты точки D и E соответственно так, что  DAC = 60^o и  ECA = 50^o. Найдите угол ADE.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO, где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и AB. Оказалось, что  BDE = 50^o и  CED = 30^o. Найдите величины углов треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₄ — ортоцентр треугольника A₁A₂A₃. Докажите, что существуют такие числа  ,...,, что  A_iA_j² = + , причем, если треугольник не прямоугольный, то  (1/) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]