Каталог по темам

Задачи

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1376]

Задача 73834

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Метод спуска	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 110138

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.

Прислать комментарий Решение

Задача 57761

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Задача 57762

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке P. Пусть l_a, l_b, l_c — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, AB и A₁B₁. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57763

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁; прямые B₁C₁, BB₁ и CC₁ пересекают прямую AA₁ в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A₁M/MA = (A₁P/PA) + (A₁Q/QA);
б) если P = Q, то MC₁ : MB₁ = (BC₁/AB) : (CB₁/AC).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1376]