Можно ли разрезать квадрат 5×5 на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?

   Решение

На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 103]      

Дан треугольник ABC и прямая l, не проходящая через его вершины.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанную окружность треугольника ABC; параболой если l касается описанной окружности; гиперболой если l пресекает описанную окружность в двух точках.
б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой l, является эллипсом, если l не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC; параболой если l касается эллипса Штейнера; гиперболой если l пресекает эллипс Штейнера в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.
б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены равнобедренные треугольники AC₁B, BA₁C, AB₁C с углом при основании (все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта.
Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ( = /2), центр масс ( = 0), точки Торричелли ( = ±/3), вершины треугольника ( = - , - , - ).

Прислать комментарий

Решение

Найдите уравнение центра гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 103]