Каталог по темам

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 416]

Задача 60869

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что на окружности с центром в точке лежит не более одной точки целочисленной решетки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61013

[Теорема о рациональных корнях многочлена]

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если (p, q) = 1 и ^p/_q – рациональный корень многочлена P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ с целыми коэффициентами, то
а) a₀ делится на p;
б) a_n делится на q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61018

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
Темы:	[	Производная и кратные корни	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что корень a многочлена P(x) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P'(a) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61324

[Геометрико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {a_n} и {b_n}, построенных по правилу

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Обозначим его через ν(a, b). Докажите, что величина ν(a, b) связана с μ(a, b) (см. задачу 61322) равенством ν(a, b)·μ(¹/_a, ¹/_b) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64548

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
Темы:	[	Монотонность, ограниченность	]

Сложность: 3+

Найдите наибольшее значение выражения a + b + c + d – ab – bc – cd – da, если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку [0, 1].

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 416]