Каталог по темам

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 423]

Задача 61543

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Ряды (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

(12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;

S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66596

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
Темы:	[	Функции. Непрерывность (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Горяшин Д.В.

Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$

Прислать комментарий Решение

Задача 67321

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
Темы:	[	Функции. Непрерывность (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Горяшин Д.В.

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?

Прислать комментарий Решение

Задача 67400

Темы:	[	Задачи на движение	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Юран А.Ю.

На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?

Прислать комментарий Решение

Задача 67635

Темы:	[	Последовательности	]
	[	Подпоследовательности	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Можно ли из последовательности точных квадратов $1, 4, 9 , 16, \ldots$ выбрать такую бесконечную подпоследовательность, что разность любых двух её соседних членов — точный куб?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 423]