Каталог по темам

Задачи

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 423]

Задача 60866

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60869

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что на окружности с центром в точке лежит не более одной точки целочисленной решетки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61013

[Теорема о рациональных корнях многочлена]

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если (p, q) = 1 и ^p/_q – рациональный корень многочлена P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ с целыми коэффициентами, то
а) a₀ делится на p;
б) a_n делится на q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61018

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
Темы:	[	Производная и кратные корни	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что корень a многочлена P(x) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P'(a) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61323

[Арифметико-гармоническое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 423]