Страница:
<< 17 18 19 20
21 22 23 >> [Всего задач: 201]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Решите уравнение 
Сколько действительных корней оно имеет?
|
[Метод Виета]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Когда 4p³ + 27q² < 0, уравнение x³ + px + q = 0 имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при p < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = kt сводится к уравнению 4t³ – 3t – r = 0 (*) от переменной t.
б) Докажите, что при 4p³ + 27q² ≤ 0 решениями уравнения (*) будут числа t1 = cos
, t2 = cos
, t3 = cos
, где φ = arccos r.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что при 4p³ + 27q² < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = αy + β сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0 (*)
от переменной y.
б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа y1 = tg 
, y2 = tg 
, y3 = tg 
, где φ определяется из условий:
sin φ = 
, cos φ = 
.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных
уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду
x4 = Ax² + Bx + C. (*)
б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде x4 + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²). (**)
Докажите, что для некоторого α > – A/2 правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Сколько корней на отрезке [0, 1] имеет уравнение
8x(1 – 2x²)(8x4 – 8x² + 1) = 1?
Страница:
<< 17 18 19 20
21 22 23 >> [Всего задач: 201]
Фильтр
