Каталог по темам

Задачи

Страница: << 147 148 149 150 151 152 153 >> [Всего задач: 1371]

Задача 35557

Темы:	[	Разрезания (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты k различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые k квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2k-2 гвоздями.

Прислать комментарий Решение

Задача 57754

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = $\alpha$ и BL : LC = AN : ND = $\beta$ . Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = $\alpha$ и KP : PM = $\beta$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57755

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство p ${\frac{AK}{KB}}$ + q ${\frac{CL}{LB}}$ = 1, где p и q — данные положительные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 57756

Темы:	[	Теорема о группировке масс	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57757

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые CC₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а) ${\frac{CO}{OC_1}}$ = ${\frac{CA_1}{A_1B}}$ + ${\frac{CB_1}{B_1A}}$ ;
б) ${\frac{AO}{OA_1}}$ ^. ${\frac{BO}{OB_1}}$ ^. ${\frac{CO}{OC_1}}$ = ${\frac{AO}{OA_1}}$ + ${\frac{BO}{OB_1}}$ + ${\frac{CO}{OC_1}}$ + 2 $\ge$ 8.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 147 148 149 150 151 152 153 >> [Всего задач: 1371]