Каталог по темам

Задачи

Страница: << 179 180 181 182 183 184 185 >> [Всего задач: 1006]

Задача 67277

Темы:	[	Оценка + пример	]
	[	Планарные графы. Формула Эйлера	]
	[	Теория графов (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Закорко П.

У Карабаса-Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого $12$-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу-Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас-Барабас актёрам?

Прислать комментарий Решение

Задача 73575

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Березин В.Н.

Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) S_n,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 73673

Темы:	[	Сочетания и размещения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Формула включения-исключения	]
	[	Производная и кратные корни	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Сидоров М.И.

m и n – натуральные числа, m < n. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 77915

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Правило произведения	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).

Прислать комментарий

Решение

Задача 79442

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теория графов (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Гашков С.Б.

В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены n² + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
а) хотя бы один треугольник;
б) не менее n треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 179 180 181 182 183 184 185 >> [Всего задач: 1006]