ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 179 180 181 182 183 184 185 >> [Всего задач: 1006]      



Задача 67277

Темы:   [ Оценка + пример ]
[ Планарные графы. Формула Эйлера ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Закорко П.

У Карабаса-Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого $12$-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу-Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас-Барабас актёрам?
Прислать комментарий     Решение


Задача 73575

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Найдите суммы
  а)   1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
  б)   Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(nk + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(nk)) + ... + ((nk + 1)(nk + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 73673

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Формула включения-исключения ]
[ Производная и кратные корни ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

m и n – натуральные числа,  m < n.  Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 77915

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Правило произведения ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).

Прислать комментарий     Решение

Задача 79442

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены  n² + 1  отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
  а) хотя бы один треугольник;
  б) не менее n треугольников.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 179 180 181 182 183 184 185 >> [Всего задач: 1006]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .