В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

   Решение

В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что  $CN = AB$.  Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.

   Решение

Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?

   Решение

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что  AG = AB.

   Решение

На аттракционе «Весёлая парковка» у машинки только 2 положения руля: «вправо» и «совсем вправо». В зависимости от положения руля, машинка едет по дуге радиуса $r_1$ или $r_2$. Машинка выехала из точки $A$ на север и проехала расстояние $l$, повернув при этом на угол $\alpha<2\pi$. Где она могла оказаться (найдите ГМТ – концов возможных траекторий)?

   Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 312]      

Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD , AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5. Найдите периметр параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

На стороне CD параллелограмма ABCD с тупым углом при вершине D построен равносторонний треугольник CDE так, что точки A и E лежат по разные стороны прямой CD . Известно, что расстояния от точек D и E до прямой BC равны соответственно 3 и 8, а расстояние от точки E до прямой AB равно 13. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

Прислать комментарий

Решение

Внутри параллелограмма KLMN взята точка P так, что треугольник KPN равносторонний. Известно, что расстояния от точки P до прямых KL , LM и MN равны соответственно 10, 3 и 6. Найдите периметр параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

На стороне KN параллелограмма KLMN с тупым углом при вершине M построен равносторонний треугольник KTN так, что точки T и M лежат по разные стороны прямой KN . Известно, что расстояния от точек T и K до прямой MN равны соответственно 8 и 5, а расстояние от точки T до прямой LM равно 10. Найдите площадь параллелограмма KLMN .

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC . Окружность касается стороны AB в точке K , лежащей между точками A и B , проходит через точки C и D , пересекает отрезки AD и BC в их внутренних точках. Найдите расстояние от точки K до прямой CD , если AD=49 , BC=36 .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 312]