Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+7)2-2x на отрезке [-6,5;0] .

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

   Решение

---

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $\angle BED = 3\angle BDE$. Точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $D'E$ проходит через точку пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

   Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73604  [Числа-автоморфы]

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа  76² = 5776  – это снова 76.
  а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
  б) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A² составляют число А.
  в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a₁, a₂, a₃, ..., что для любого натурального n квадрат числа a_na_n–1...a₂a₁ оканчивается на эти же n цифр? Очевидный ответ  a₁ = 1  и  0 = a₂ = a₃ = ...  мы исключаем.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73615

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В таблице размерами m×n расставлены числа – в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркнуто k наибольших чисел  (k ≤ m),  в каждой строке – l наибольших чисел  (l ≤ n).  Докажите, что по крайней мере kl чисел подчёркнуты дважды.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78272

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78624

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дана последовательность целых положительных чисел X₁, X₂...X_n, все элементы которой не превосходят некоторого числа M. Известно, что при всех k > 2 X_k = | X_{k - 1} - X_{k - 2}|. Какой может быть максимальная длина этой последовательности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79330

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 11

В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями