Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
  а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
  б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

   Решение

Из точки M, расположенной вне окружности на расстоянии от центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности.
Найдите радиус окружности.

   Решение

На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 151]      

Существует ли тетраэдр, высоты которого равны 1, 2, 3 и 6?

Прислать комментарий

Решение

На ребре DC треугольной пирамиды ABCD взята N , причём CN = 2DN , а на продолжениях рёбер CA и CB за точки A и B соответственно – точки K и M , причём AC = 2AK и MB = 2BC . В каком отношении плоскость, проходящая через точки M , N и K , делит объём пирамиды ABCD ?

Прислать комментарий

Решение

Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . Точка N – середина ребра AP , точка K – середина медианы PL треугольника BPC , точка M лежит на ребре PB , причём PM = 5MB . В каком отношении плоскость, проходящая через точки M , N , K , делит объём пирамиды PABCD ?

Прислать комментарий

Решение

Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . На рёбрах AB и PC взяты соответственно точки K и M , причём AK:KB = CM:MP = 1:2 . В каком отношении плоскость, проходящая через точки K и M параллельно прямой BD, делит объём пирамиды PABCD ?

Прислать комментарий

Решение

Известно, что если поверхность некоторого тетраэдра ABCD разрезать вдоль рёбер AD , BD и CD , то его развёрткой на плоскость ABC будет квадрат со стороной a . Найдите объём тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 151]