Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 1006]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Натуральное число
b назовём
удачным, если для любого натурального
a, такого, что
a5 делится на
b², число
a² делится на
b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть 
– производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству
C(x) = xC²(x) + 1,
и получите явный вид функции
C(
x).
Определение чисел Каталана можно найти в
справочнике.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы
из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного
промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.
а) Докажите, что это возможно.
б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4,
то желание короля станет неосуществимым.
Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 1006]
Фильтр
