ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 1006]      



Задача 73653

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Обход графов ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

С четырёх сторон шахматной доски размером n×n построена кайма шириной в два поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда  n – 1  кратно 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97836

Темы:   [ Полуинварианты ]
[ Перестановки и подстановки ]
[ Процессы и операции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Ильичев В.

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 97906

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,
  а) четырёх вечеров недостаточно,
  б) пяти вечеров также недостаточно,
  в) а десяти вечеров достаточно,
  г) и даже семи вечеров тоже достаточно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109663

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Степень вершины ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В стране N  1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111833

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Степень вершины ]
[ Перестройки ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого k  (2 ≤ k ≤ N)  при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить  2k – 2.  Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 1006]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .