Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике $ABC$, где $AB < BC$, биссектриса угла $C$ пересекает в точке $P$ прямую, параллельную $AC$ и проходящую через вершину $B$, а в точке $R$ – касательную из вершины $B$ к описанной окружности треугольника. Точка $R'$ симметрична $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'PB = \angle RPA$.

   Решение

---

В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.

   Решение

---

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 161]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79288

Темы:   [ Взвешивания ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на k равных по массе групп.
Доказать, что не менее чем k способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на k равных по массе групп.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98259

Темы:   [ Взвешивания ] [ Троичная система счисления ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98352

Темы:   [ Взвешивания ] [ Двоичная система счисления ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Имеется набор из 20 гирь, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 1997 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каков минимально возможный вес самой тяжелой гири такого набора, если:
  а) веса гирь набора все целые,
  б) веса не обязательно целые?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111862

Темы:   [ Взвешивания ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73747

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 161]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями