Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Цифры 0, 1, ..., 9 разбиты на несколько непересекающихся групп. Из цифр каждой группы составляются всевозможные числа, для записи каждого из которых все цифры группы используются ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке возрастания и k-му числу поставили в соответствие k-ю букву алфавита АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ. Оказалось, что каждой букве соответствует число и каждому числу соответствует некоторая буква. Шифрование сообщения осуществляется заменой каждой буквы соответствующим ей числом. Если ненулевое число начинается с нуля, то при шифровании этот нуль не выписывается. Восстановите сообщение 873146507381 и укажите таблицу замены букв числами.

Решение

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а сторону BC – в точке M. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Решение

Дан угол ABC и прямая l . Параллельно прямой l с помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой стороны угла ABC высекают отрезок, равный данному.

Решение

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что OB₁ = OB₂.

Решение

На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K.
Найдите CK, если AC = 2 и ∠A = 30°.

Решение

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Решение

Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

x₁ $\displaystyle \geqslant$ - a, x_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$ .

Докажите, что последовательность {x_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

Решение

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Решение

В треугольнике ABC AB = a, AC = b, точка O – центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение

Задача 102353

Задача 102354

Задача 102374

Задача 102375

Задача 102395