Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁A₂A₃...A_n. Рассматриваются углы A_iOA_j при всевозможных парах  (i, j)  (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере  n – 1  не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.

б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.

   Решение

---

а) Можно ли квадрат 6×6 замостить костями домино 1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей?
б) Докажите, что любой прямоугольник m×n, где m и n больше 6 и mn четно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.
в) Докажите, что прямоугольник 6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.

   Решение

---

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

   Решение

Страница: << 132 133 134 135 136 137 138 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103733

Темы:   [ Системы точек ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 3- Классы: 5,6,7,8

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103868

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3- Классы: 6,7

Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54040

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC повернули вокруг точки C так, что его вершина A оказалась в точке A₁ на прямой BC. При этом вершина B перешла в некоторую точку B₁, лежащую с точкой A по одну сторону от прямой BC. Докажите, что прямые AB и B₁C параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97956

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Правильные многоугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

  а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?
  б) Тот же вопрос для 12-угольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30295

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно обеих главных диагоналей.
Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 132 133 134 135 136 137 138 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями