Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Решение

Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что AC || BD.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой две данные окружности были бы видны под данными углами.

Решение

Авторы: Ландо С.К., Шаповалов А.В.

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)

Решение

Авторы: Курляндчик Л.Д., Сендеров В.А.

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём m > n. Какое из двух чисел больше:

или

(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)

Решение

Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.

Решение

Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC, равной a, и пересекающая окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах, в точках M и N, отличных от A. Найдите MN.

Решение

Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках (эллиптический пучок), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (параболический пучок), либо не пересекает радикальную ось (гиперболический пучок).

Решение

Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника.

Решение

Задача 35614

Задача 102713

Задача 104032

Задача 102714

Задача 102717