Каталог по темам

Выбрано 13 задач

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$ , что $AP=PB$ , $BQ=QC$ . Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

а) (П.Рябов) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$ .

б) (А.Заславский) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$ . Докажите, что $MN\perp OS$ , где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$ .

Решение

Пусть уравнение x³ + px + q = 0 имеет корни x₁, x₂ и x₃. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения D = (x₁ – x₂)²(x² – x₃)²(x₃ – x₁)².

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке P. Пусть l_a, l_b, l_c — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, AB и A₁B₁. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

Решение

Сумма трёх положительных углов равна 90^o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

Решение

Автор: Петухов А.В.

В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

Решение

Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Решение

При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения x³ – x – a = 0.

Решение

На прямых $BC$ , $CA$ , $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$ , $B_1$ и $B_2$ , $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$ , $B_1C_2\| BC$ , $C_1A_2\| CA$ . Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$ , $BB_2$ и $CC_1$ ; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$ , $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).

Решение

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Решение

Автор: Марданов А.

Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$ , а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$ . Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

Решение

Решите уравнение Сколько действительных корней оно имеет?

Решение

Получите формулу для корня уравнения x³ + px + q = 0:
x = + .

Решение

а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять ёлок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую ёлку он красит только в один цвет?
б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять ёлок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну ёлку (и все шарики должны быть использованы)?

Решение

Задача 104045

Задача 104073

Задача 60400

Задача 30741

Задача 30749